SISTEMAS NUMÉRICOS.

Sistema Octal:
El sistema de numeración octal es un sistema de numeración en base 8, una base que es potencia exacta de 2 o de la numeración binaria. Esta característica hace que la conversión a binario o viceversa sea bastante simple. El sistema octal usa 8 dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) y tienen el mismo valor que en el sistema de numeración decimal.

Sistema Binario
El sistema binario, en ciencias e informática, es un sistema de numeración en el que los números se representan utilizando solamente las cifras cero y uno (0 y 1). Es el que se utiliza en las computadoras, debido a que trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo cual su sistema de numeración natural es el sistema binario (encendido 1, apagado 0).

Sistema Decimal
El sistema de numeración decimal, también llamado sistema decimal, es un sistema de numeración posicional en el que las cantidades se representan utilizando como base aritmética las potencias del número diez. El conjunto de símbolos utilizado (sistema de numeración arábiga) se compone de diez cifras diferentes: cero (0); uno (1); dos (2); tres (3); cuatro (4); cinco (5); seis (6); siete (7); ocho (8) y nueve(9).

Sistema Hexadecimal
Otro modo de manejar números binarios es con el uso del sistema de numeración hexadecimal. Este sistema es de base 16, lo que significa que para cada columna es posible escoger uno de entre 16 dígitos. Éstos son O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Para contar en el sistema hexadecimal se inicia en la primera columna a la izquierda del punto hexadecimal y se cuenta desde O hasta F. Una vez que se llena la primera columna, se pone en cero a ella y se suma uno a la segunda columna. Después del 18, 19, lA, 1B, 1C, 1D, lE, lF siguen el 20, 21, y así sucesivamente. Después del 9FFF sigue el A000, etc.

Converciones del sistema numérico:

1) Realiza la conversión a binario del número decimal 567.

Siguiendo el mismo proceso que en el ejercicio anterior, tenemos que dividir sucesivamente el
56710 entre 2 hasta que lleguemos a un número que ya no sea divisible entre 2.

Siguiendo todos los restos obtenidos, empezando por el cociente de más a la derecha, nos da
el resultado final en binario. Es decir, 10001101112.

2) Realiza la conversión tanto a decimal como a hexadecimal del número
binario 1001110110.

Conversión a decimal

En esta conversión cada cifra será multiplicada por la base del sistema de numeración (b=2)
elevada a una potencia que dependerá de la posición de esa cifra en el número a convertir.
Empezando por la posición de más a la derecha la primera cifra se multiplica por 20
, la
segunda por la derecha se multiplica por 21
, y así sucesivamente.

10011101102 = 1×29
+ 0×28
+ 0×27
+ 1×26
+ 1×25
+ 1×24
+ 0×23
+ 1×22
+ 1×21
+ 0×20

10011101102 = 1×29
+ 1×26
+ 1×25
+ 1×24
+ 1×22
+ 1×21
(obviamos los ceros)

10011101102 = 512 + 64 + 32 + 16 + 4 + 2

10011101102 = 63010

Conversión a hexadecimal

Para la conversión a hexadecimal el número a convertir se divide en grupos de 4 bits
(empezando por la derecha). Si el último grupo no tiene 4 bits se le añaden tantos ceros a la
izquierda como sea necesario hasta completar el grupo.

Por tanto, el número 10011101102 lo dividimos en 3 grupos de 4 bits cada uno de ellos; a
saber: 10, 0111 y 0110. Como el último grupo no llega a los 4 bits lo rellenamos con ceros a
la izquierda, quedando los 3 grupos de 4 bits como: 0010, 0111 y 0110.

BINARIO DECIMAL HEXADECIMAL
0000 0 0
0001 1 1
0010 2 2
0011 3 3
0100 4 4
0101 5 5
0110 6 6
0111 7 7
1000 8 8
1001 9 9
1010 10 A
1011 11 B
1100 12 C
1101 13 D
1110 14 E
1111 15 F

Después de esa división, la conversión es directa (ver Tabla) ya que a cada grupo de 4 bits
(24
= 16 posibles valores = los que tiene el alfabeto hexadecimal) le corresponde un valor en
el alfabeto hexadecimal.

La conversión de cada grupo, si no sabemos la conversión directa entre el binario y el
hexadecimal, se haría de la siguiente manera:

00102 = 0×23
+ 0×22
+ 1×21
+ 0×20
= 1×21
= 210 = 216

01112 = 0×23
+ 1×22
+ 1×21
+ 1×20
= 1×22
+ 1×21
+ 1×20
= 4 + 2 + 1 = 710 = 716

01102 = 0×23
+ 1×22
+ 1×21
+ 0×20
= 1×22
+ 1×21
= 4 + 2 = 610 = 616

Por tanto, como podemos ver en la siguiente figura, al 00102 le corresponde el valor
hexadecimal 2, al 01112 el valor hexadecimal 7 y al 01102 el valor hexadecimal 6.

El resultado final es: 10011101102 = 27616.

3) El sistema octal es un sistema de numeración en base 8 (b=8) cuyo alfabeto
es { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }. Construir una tabla con la representación de los 32
primeros números en los sistemas de numeración hexadecimal, decimal,
octal y binario.

BINARIO OCTAL DECIMAL HEXADECIMAL BINARIO OCTAL DECIMAL HEXADECIMAL
0000 00 00 00 10000 20 16 10
0001 01 01 01 10001 21 17 11
0010 02 02 02 10010 22 18 12
0011 03 03 03 10011 23 19 13
0100 04 04 04 10100 24 20 14
0101 05 05 05 10101 25 21 15
0110 06 06 06 10110 26 22 16
0111 07 07 07 10111 27 23 17
1000 10 08 08 11000 30 24 18
1001 11 09 09 11001 31 25 19
1010 12 10 0A 11010 32 26 1A
1011 13 11 0B 11011 33 27 1B
1100 14 12 0C 11100 34 28 1C
1101 15 13 0D 11101 35 29 1D
1110 16 14 0E 11110 36 30 1E
1111 17 15 0F 11111 37 31 1F

Como se puede comprobar en la Tabla, hay cierta relación en el número de bits que
necesitan los diferentes sistemas de numeración vistos en clase. Con un bit, el sistema binario
puede codificar hasta 2 valores; el 0 y el 1.

Con 2 bits se pueden llegar a codificar hasta 22
= 4 posibles valores diferentes:

BINARIO DECIMAL
2 DÍGITOS
00 0
01 1
10 2
11 3

Por tanto, un sistema de numeración cuyo alfabeto fuese { 0, 1, 2, 3 } (4 posibles valores
diferentes) podría codificarse en un ordenador utilizando únicamente 2 bits. Con 3 bits se
pueden codificar hasta 23
= 8 posibles valores diferentes:

BINARIO OCTAL DECIMAL
3 DÍGITOS 1 DÍGITO
000 0 0
001 1 1
010 2 2
011 3 3
100 4 4
101 5 5
110 6 6
111 7 7

Por tanto, con 3 bits podemos codificar todos los posibles valores del sistema de numeración
octal (b=8); es decir, todos los posibles valores de su alfabeto { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } (8
posibles valores diferentes).

Por último, con 4 bits se pueden codificar hasta 24
= 16 posibles valores diferentes; es decir,
los mismos posibles valores que tiene el sistema hexadecimal (b=16). Ver la Tabla.

4) Intenta realizar la conversión a decimal del número octal 325.

El proceso de conversión a decimal es igual que si hiciéramos la conversión de binario a
decimal, pero en este caso la base del sistema de numeración es 8 (b=8) en lugar de 2.

3258 = 3×82
+ 2×81
+ 5×80
= 3×64 + 2×8 + 5×1 = 192 + 16 + 5 = 21310

5) ¿Cuál es el siguiente número hexadecimal al 19F? a) 2A0 b) 200 c) 1A0

Si empezamos por la cifra de más a la derecha, la F, tenemos que el siguiente número es el 0
ya que la F es la última cifra del alfabeto hexadecimal. Extrapolándolo a nuestro sistema
decimal, lo mismo ocurre cuando del número 9 pasamos directamente al 0, debido a que ya no
existen más números en el alfabeto decimal.

Al cambiar de la F al 0 tenemos que sumar 1 (el acarreo) a la siguiente cifra; al igual que
ocurre en el sistema decimal. En este caso, al 9 le sumamos 1. El resultado en hexadecimal es
A, que correspondería con el número 10 en decimal. Como pasar del 9 a la A no supone
volver al primer valor del alfabeto, la tercera cifra no sufre ninguna modificación (no hay
acarreo). Por tanto se quedaría el 1.

Solución: El siguiente número al 19F16 corresponde con el 1A016 (opción C).

6) ¿Cuántos bytes tienen 16 MB? Y, ¿cuántos bits?

Si 1 MB corresponde a 1024 KB entonces 16 MB serán 16×1024 KB. Es decir, 16 MB
corresponden a 16384 KB en total. A su vez, 1 KB corresponde a 1024 bytes; por lo que
16384 KB serán 16384×1024 bytes. Es decir, 16777216 bytes en total.

Por otro lado, como 1 byte corresponde a 8 bits entonces 16777216 bytes serán 16777216×8
bits. Es decir, 16 MB corresponde a 134217728 bits en total. Resumiendo: 16 MB = 16×1024 KB = 16384 KB = 16384×1024 bytes = 16777216 bytes =
16777216×8 bits = 134217728 bits

7) Si tengo 2 módulos de memoria con 512 MB y 1024 MB, ¿cuántos GB de
memoria tengo en total?

La suma total de ambos módulos sería 512 MB + 1024 MB = 1536 MB.

Por otro lado, si 1 GB corresponde a 1024 MB entonces 1536 MB serán:

1536 MB / 1024 MB = 1,5 GB

8) Tenemos un disco duro con una capacidad total de 20 GB. Si cada bloque en
los que ese disco duro se divide tiene 4 KB, ¿cuántos bloques hay en total?

Lo primero, tendremos que convertir la capacidad del disco duro de GB a KB. Recordemos que
1 GB corresponde a 1024 MB (primera conversión), por lo que 20 GB serán:

20×1024 = 20480 MB

A su vez, 1 MB equivale a 1024 KB (segunda conversión). Por tanto, si tenemos un disco duro
de 20480 MB, en total tendremos también:

20480×1024 = 20971520 KB

Finalmente, si cada bloque en los que el disco duro se divide ocupa 4 KB, tendremos un total de:

20971520 KB / 4 KB = 5242880 bloques